雑感等

音楽，数学，語学，その他に関するメモを記す．

扇型に内接する楕円

扇型に内接する楕円を求めた

――かったが、実質的には二等辺三角形に内接する楕円の式が求まった。

扇型は、半径を1、中心角を $\theta$ とする。

楕円は、一方（扇型の径方向）の半径を $a$ 、もう一方の半径を $b$ とする。

各図形は図の座標に配置し、 $\theta$ と $a$ を既知の値とすると、 $b$ は次式で与えられる。

$\displaystyle b = \frac{ \frac{a^2}{a-1} -a+1}{\tan {\left( \frac{ \pi - \theta}{2} \right) } \sqrt{\frac{1-2a}{(a-1)^2}} }$

この $b$ を使い、上図の楕円の式は次式で与えられる。

$\displaystyle \frac{x^2}{b^2} + \frac{(y+1-a)^2}{a^2} = 1$

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