2017-08-28

関数に対する微分演算子sの作用

積分演算子: $l=\left\{ 1 \right\}$
微分演算子: $s=\frac{1}{l}=\frac{1}{\left\{ 1 \right\}}$
関数: $f(t), \, g(t)$
定数: $k$

以下が成立する．
$\left\{ f(t) \right\}+\left\{ g(t) \right\} = \left\{ f(t)+g(t) \right\}.$
$\left\{ f(t) \right\}\left\{ g(t) \right\} = \left\{ \int^t_0 f(x)g(t-x)dx \right\}.$
$k \left\{ 1 \right\}=lk=\left\{ k \right\}.$
$l\left\{ f(t) \right\}=\left\{ 1 \right\}\left\{ f(t) \right\}= \left\{ \int^t_0 1 \cdot f(x)dx \right\}.$
$ls=sl=\frac{\left\{ 1 \right\}}{\left\{ 1 \right\}}=1.$

微分 演算子の微分作用

$\left\{ f(t) \right\} =\left\{ f(t)-f(0)+f(0) \right\} = \left\{ \left[ f(x) \right]^{x=t}_{x=0}+ f(0) \right\} \\ = \left\{ \int^{t}_{0} f'(x) dx+ a(0) \right\} = \left\{ \int^{t}_{0} 1 \cdot f'(x) dx\right\}+\left\{ f(0) \right\} \\ = l \left\{ f'(t) \right\}+l\,f(0).$
辺々に微分演算子sを掛ける．
$s\left\{ f(t) \right\} = sl \left\{ f'(t) \right\}+sl\,f(0) = \left\{ f'(t) \right\}+f(0) .$

文献

ヤン・ミクシンスキー. 演算子法: 上巻. 松村英之, 松浦重武訳. 新版, 裳華房, 299p.

2017-07-29

発散・回転・勾配の連鎖（ベクトル解析）

数学

$\phi,\, \psi$ : スカラ
$\boldsymbol{A}\, \boldsymbol{B}$ :ベクタ
$div\, \boldsymbol{A}=\nabla \cdot \boldsymbol{A}$ : ベクタ→スカラ
$grad\, \phi=\nabla \phi$ : スカラ→ベクタ
$rot\, \boldsymbol{A}=\nabla \times \boldsymbol{A}$ : ベクタ→ベクタ
$\Delta \boldsymbol{A}=(\nabla \cdot \nabla) \boldsymbol{A} \neq \nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{A})$

ベクタ $grad \,(div \, \boldsymbol{A})=\boldsymbol{B}$	NG $div \,(div \, \boldsymbol{A})$	NG $rot \,(div \, \boldsymbol{A})$
NG $grad \,(grad \,\phi)$	スカラ $div \,(grad \,\phi)=\Delta \phi$	ベクタ $rot \,(grad \,\phi)=\boldsymbol{0}$
NG $grad \,(rot \, \boldsymbol{A})$	スカラ $div \,(rot \, \boldsymbol{A})=0$	ベクタ $rot \,(rot \, \boldsymbol{A})\\=grad \,(div \, \boldsymbol{A})-\Delta \boldsymbol{A}$

ベクタ $\nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{A})=\boldsymbol{B}$	NG $\nabla\cdot(\nabla \cdot \boldsymbol{A})$	NG $\nabla\times(\nabla \cdot \boldsymbol{A})$
NG $\nabla(\nabla\phi)$	スカラ $\nabla\cdot(\nabla\phi)=\Delta \phi$	ベクタ $\nabla\times(\nabla\phi)=\boldsymbol{0}$
NG $\nabla(\nabla \times \boldsymbol{A})$	スカラ $\nabla\cdot(\nabla \times \boldsymbol{A})=0$	ベクタ $\nabla\times(\nabla \times \boldsymbol{A})\\=\nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{A})-\Delta \boldsymbol{A}$

2017-06-24

命題論理のメモ "Theorem syl5"の証明

数学

syl5 - Metamath Proof Explorer
syl5 - Intuitionistic Logic Explorer

Hypothesis

Ref	Expression
syl5.1	⊢(𝜑→𝜓)
syl5.2	⊢(𝜒→(𝜓→𝜃))

Assertion

Ref	Expression
syl5	⊢(𝜒→(𝜑→𝜃))

Proof of Theorem com12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		syl5.1	⊢(𝜑→𝜓)
2	1	a1i	⊢(𝜒→(𝜑→𝜓))
3		syl5.2	⊢(𝜒→(𝜓→𝜃))
4	3	a1i	⊢(𝜒→(𝜑→(𝜓→𝜃)))
5	4	a2d	⊢(𝜒→((𝜑→𝜓)→(𝜑→𝜃)))
6	5	a2i	⊢( (𝜒→(𝜑→𝜓)) → (𝜒→(𝜑→𝜃)) )
7	2, 6	ax-mp	⊢(𝜒→(𝜑→𝜃))

2017-05-01

積と微分でつながる4つの物理量の構造

その他

教わったことの受け売り．

構造の共通が興味深く，美しいと思った．

電磁気学の図で電荷・磁束を結ぶメモリスタという素子は，
抵抗・キャパシタ・インダクタと比べて，最近実現された素子らしい．

力学の図で，電荷・磁束に対応するのは運動量・位置だが，
不確定性原理によると，これらの物理量は1対1対応には出来ないようだ．

電磁気学

f:id:kazmus:20170502000542j:plain
電圧:v
電流:i
電荷:q
磁束:φ

抵抗:R
静電容量:C
インダクタンス:L
メモリスタンス:M

力学

f:id:kazmus:20170502002251j:plain
速度:v
力:F
運動量:p
位置:x

ダンパの減衰定数:c
質量:m
バネ定数:k

2017-04-30

命題論理のメモ "Theorem com12"の証明

数学

com12 - Metamath Proof Explorer
com12 - Intuitionistic Logic Explorer

Hypothesis

Ref	Expression
com12.1	⊢(𝜑→(𝜓→𝜒))

Assertion

Ref	Expression
com12	⊢(𝜓→(𝜑→𝜒))

Proof of Theorem com12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		com12.1	⊢(𝜑→(𝜓→𝜒))
2		ax-2	⊢((𝜑→(𝜓→𝜒))→((𝜑→𝜓)→(𝜑→𝜒)))
3	1, 2	ax-mp	⊢((𝜑→𝜓)→(𝜑→𝜒))
4		ax-1	⊢( ((𝜑→𝜓)→(𝜑→𝜒)) →( 𝜓 → ((𝜑→𝜓)→(𝜑→𝜒)) ))
5	3, 4	ax-mp	⊢(𝜓→((𝜑→𝜓)→(𝜑→𝜒)))
6		ax-2	⊢( (𝜓→((𝜑→𝜓)→(𝜑→𝜒))) → ((𝜓→(𝜑→𝜓))→(𝜓→(𝜑→𝜒))) )
7	5, 6	ax-mp	⊢( (𝜓→(𝜑→𝜓)) → (𝜓→(𝜑→𝜒)) )
8		ax-1	⊢(𝜓→(𝜑→𝜓))
9	7, 8	ax-mp	⊢(𝜓→(𝜑→𝜒))

2017-03-24

"what"のイメージ

文献

伊藤和夫. “Chapter 4 what節”. 英文解釈教室. 改訂版, 研究社, 1997, p.69-92.

疑問詞"what"は単語単体の意味として，
話し手が断定できないモヤモヤした「モノ」を意味すると考えた．

ここで，この「モノ」とは，話し手の主観として，

存在が認識できる
不定性を含む

ようなものだとする．

"what"には次のような「様態の不定性」を指す用法がある．

疑問代名詞 "What is this?"

これは，「モノ」が何かを問うている．

関係代名詞 "I have no words for what I then saw."

この文では，「モノ」を先に示し(what)，それから「モノ」の詳細(I then saw)を示している．

一方，「様態の不定性」とはいいがたい用法もある．

関係形容詞 "They robbed him of what little money he had."

この用法における"what"は，all the"の意味を含むことを文献が示す．

この場合に，上に示す「様態の不定性」が転じ，
「数量・範囲の不定性」を示すようになり，
さらに，「考えうるものすべて」を示すようになったと考えてみる．
f:id:kazmus:20170324134802p:plain

すると，関係形容詞の用法を受け入れやすいのではないかと考える．

2017-03-12

順序対に関する命題のメモ

数学

　文献のp.197のA.2.7の命題の証明の準備

　 $\{a,b\}=\{a,c\}ならb=c．$ （中略） $a \neq bならb \in \{a,c\}だからb=c．$

これに関するメモを記す．

文献

齋藤正彦. “付録　公理的集合論”. 数学の基礎: 集合・数・位相. 東京大学出版会, 2002, p.195-197, (基礎数学, 14).

　外延性公理： $\forall x \forall y [ \forall z [ z\in x \leftrightarrow z\in y ]\rightarrow x=y ].$ で
$x= \{ a,b \}$ ， $y= \{ a,c \}$ とすると，
$\forall z [ z\in \{ a,b \} \leftrightarrow z\in \{ a,c \} ]\rightarrow \{ a,b \}=\{ a,c \}.$

さらに， $z= b$ とすると，
$[ b\in \{ a,b \} \leftrightarrow b\in \{ a,c \} ] \rightarrow \{ a,b \}=\{ a,c \}.$
$b\in \{ a,b \}$ は明らかに真である．
そして， $b\in \{ a,c \}$ が真となる条件を考える．