順序対に関する命題のメモ

　文献のp.197のA.2.7の命題の証明の準備

　 $\{a,b\}=\{a,c\}ならb=c．$ （中略） $a \neq bならb \in \{a,c\}だからb=c．$

これに関するメモを記す．

文献

齋藤正彦. “付録　公理的集合論”. 数学の基礎: 集合・数・位相. 東京大学出版会, 2002, p.195-197, (基礎数学, 14).

　外延性公理： $\forall x \forall y [ \forall z [ z\in x \leftrightarrow z\in y ]\rightarrow x=y ].$ で
$x= \{ a,b \}$ ， $y= \{ a,c \}$ とすると，
$\forall z [ z\in \{ a,b \} \leftrightarrow z\in \{ a,c \} ]\rightarrow \{ a,b \}=\{ a,c \}.$

さらに， $z= b$ とすると，
$[ b\in \{ a,b \} \leftrightarrow b\in \{ a,c \} ] \rightarrow \{ a,b \}=\{ a,c \}.$
$b\in \{ a,b \}$ は明らかに真である．
そして， $b\in \{ a,c \}$ が真となる条件を考える．