雑感・音楽等

音楽・数学・プログラミングに関する,思い付き・雑感を記す.

順序対に関する命題のメモ

 文献のp.197のA.2.7の命題の証明の準備

  \{a,b\}=\{a,c\}ならb=c.(中略) a \neq bならb \in \{a,c\}だからb=c.

これに関するメモを記す.

文献

  • 齋藤正彦. “付録 公理的集合論”. 数学の基礎: 集合・数・位相. 東京大学出版会, 2002, p.195-197, (基礎数学, 14).

 外延性公理: \forall x \forall y [ \forall z [ z\in x \leftrightarrow z\in y ]\rightarrow x=y ].
 x= \{ a,b \}  y= \{ a,c \} とすると,
  \forall z [ z\in \{ a,b \} \leftrightarrow z\in \{ a,c \} ]\rightarrow \{ a,b \}=\{ a,c \}.

さらに, z= b とすると,
  [ b\in \{ a,b \} \leftrightarrow b\in \{ a,c \} ] \rightarrow \{ a,b \}=\{ a,c \}.
 b\in \{ a,b \} は明らかに真である.
そして, b\in \{ a,c \} が真となる条件を考える.

 b\in \{ a,c \} が真となる条件は, b=a が真,または, b=cが真であることだ.
条件 a \neq bより, b=cが成立すべきであることが分かる.