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常微分方程式の数値解法：ルンゲ=クッタ法，クッタ=シンプソンの方法（1/3法則）

プログラミング

文献が示すルンゲ=クッタの公式を整理する．
文献の"表 8.3　ルンゲ-クッタの公式"と"表 8.4　ルンゲ-クッタの公式（連立方程式）"をもとにする．

文献

藪忠司, 伊藤惇. “8.2 ルンゲ-クッタ法”. 数値計算法. コロナ社, 2002, p.100-101, (機械系教科書シリーズ, 12).

クッタ=シンプソンの方法（1/3法則）

離散化した際の最小単位時間: h
初期値: t,\, x,\, y,\, z
次の値: t+h,\, x+\varDelta x,\, y+\varDelta y,\, z+\varDelta z

2変数(t, x)

\displaystyle \frac{dx}{dt}=f(t, x)を解く．
\displaystyle k_1=h f(t, x)
\displaystyle k_2=h f \left( t+\frac{h}{2},\, x+\frac{k_1}{2} \right)
\displaystyle k_3=h f \left( t+\frac{h}{2},\, x+\frac{k_2}{2} \right)
\displaystyle k_4=h f(t+h,\, x+k_3)
\displaystyle \varDelta x=\frac{k_1 + 2 k_2 + 2 k_3 + k_4}{6}

3変数(t, x, y)

\displaystyle \frac{dx}{dt}=f(t,\, x,\, y),\, \frac{dy}{dt}=g(t,\, x,\, y)を解く．
\displaystyle k_1=h f(t,\, x,\, y)
\displaystyle k_2=h f \left( t+\frac{h}{2},\, x+\frac{k_1}{2},\, y+\frac{l_1}{2} \right)
\displaystyle k_3=h f \left( t+\frac{h}{2},\, x+\frac{k_2}{2},\, y+\frac{l_2}{2} \right)
\displaystyle k_4=h f(t+h,\, x+k_3,\, y+l_3)
\displaystyle \varDelta x=\frac{k_1 + 2 k_2 + 2 k_3 + k_4}{6}

\displaystyle l_1=h g(t,\, x,\, y)
\displaystyle l_2=h g \left( t+\frac{h}{2},\, x+\frac{k_1}{2},\, y+\frac{l_1}{2} \right)
\displaystyle l_3=h g \left( t+\frac{h}{2},\, x+\frac{k_2}{2},\, y+\frac{l_2}{2} \right)
\displaystyle l_4=h g(t+h,\, x+k_3,\, y+l_3)
\displaystyle \varDelta y=\frac{l_1 + 2 l_2 + 2 l_3 + l_4}{6}

4変数(t, x, y, z) –2変数・3変数の式から推測し，導出した．

\displaystyle \frac{dx}{dt}=f(t,\, x,\, y,\, z),\, \frac{dy}{dt}=g(t,\, x,\, y,\, z),\, \frac{dz}{dt}=j(t,\, x,\, y,\, z)を解く．

\displaystyle k_1=h f(t,\, x,\, y,\, z)
\displaystyle k_2=h f \left( t+\frac{h}{2},\, x+\frac{k_1}{2},\, y+\frac{l_1}{2},\, z+\frac{m_1}{2} \right)
\displaystyle k_3=h f \left( t+\frac{h}{2},\, x+\frac{k_2}{2},\, y+\frac{l_2}{2},\, z+\frac{m_2}{2} \right)
\displaystyle k_4=h f(t+h,\, x+k_3,\, y+l_3,\, z+m_3)
\displaystyle \varDelta x=\frac{k_1 + 2 k_2 + 2 k_3 + k_4}{6}

\displaystyle l_1=h g(t,\, x,\, y,\, z)
\displaystyle l_2=h g \left( t+\frac{h}{2},\, x+\frac{k_1}{2},\, y+\frac{l_1}{2},\, z+\frac{m_1}{2} \right)
\displaystyle l_3=h g \left( t+\frac{h}{2},\, x+\frac{k_2}{2},\, y+\frac{l_2}{2},\, z+\frac{m_2}{2} \right)
\displaystyle l_4=h g(t+h,\, x+k_3,\, y+l_3,\, z+m_3)
\displaystyle \varDelta y=\frac{l_1 + 2 l_2 + 2 l_3 + l_4}{6}

\displaystyle m_1=h j(t,\, x,\, y,\, z)
\displaystyle m_2=h j \left( t+\frac{h}{2},\, x+\frac{k_1}{2},\, y+\frac{l_1}{2},\, z+\frac{m_1}{2} \right)
\displaystyle m_3=h j \left( t+\frac{h}{2},\, x+\frac{k_2}{2},\, y+\frac{l_2}{2},\, z+\frac{m_2}{2} \right)
\displaystyle m_4=h j(t+h,\, x+k_3,\, y+l_3,\, z+m_3)
\displaystyle \varDelta z=\frac{m_1 + 2 m_2 + 2 m_3 + m_4}{6}