変分法のオイラー方程式の変形

Rudan, Massimo. Physics of Semiconductor Devices. 2015. Springer. にあった変形

オイラー方程式 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi} \frac{\partial g}{\partial \dot w} = \frac{ \partial g }{ \partial w }$ (1.4) から(1.5)の導出が分からなかった．

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi} \frac{\partial g}{\partial \dot w}$ の微分の順番を入れ替えて，（無条件で入れ替えられるかは不明） $\displaystyle \frac{\partial }{\partial \dot w} \frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d}\xi} = \frac{ \partial g }{ \partial w }$ (1.4)'

ここで $g(w,\dot w, \xi)$ に多変数関数の偏微分の連鎖律を適用して $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi} g(w(\xi),\dot w(\xi), \xi) = \frac{\partial g}{\partial w} \frac{d w}{d \xi} +\frac{\partial g}{\partial \dot w} \frac{d \dot w}{d \xi} +\frac{\partial g}{\partial \xi} \frac{d \xi}{d \xi} = \frac{\partial g}{\partial w} {\dot w} +\frac{\partial g}{\partial \dot w} {\ddot w} +\frac{\partial g}{\partial \xi}\cdot 1$

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial \dot w} \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}\xi} = \frac{\partial }{\partial \dot w} \left( \frac{\partial g}{\partial \dot w} {\ddot w} + \frac{\partial g}{\partial w} {\dot w} +\frac{\partial g}{\partial \xi} \right) = \frac{ {\partial}^2 g}{ {\partial \dot w}^2} {\ddot w} + \frac{ {\partial}^2 g}{\partial w \partial \dot w} {\dot w} +\frac{ {\partial}^2 g}{\partial \xi \partial \dot w}$ これを(1.4)'の左辺として

$\displaystyle \frac{ {\partial}^2 g}{ {\partial \dot w}^2} {\ddot w} + \frac{ {\partial}^2 g}{\partial w \partial \dot w} {\dot w} +\frac{ {\partial}^2 g}{\partial \xi \partial \dot w} = \frac{ \partial g }{ \partial w }$ (1.5)

雑感等

音楽，数学，語学，その他に関するメモを記す．

変分法のオイラー方程式の変形