自然数
- 0 = {}
- k+1 = { k , { k } }
| 名前 | 展開 | 実体 |
|---|---|---|
| 0 | {} | |
| 1 | { 0, {0} } | { {} , { {} } } |
| 2 | { 1, {1} } | { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } |
| 3 | { 2, {2} } | { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } , { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } } } |
整数
- n-m = < n ,m > = { n, { n, m } }
| 名前 | 展開 | 実体 |
|---|---|---|
| 0 | 0-0=< 0 , 0 > | { {} , { {} , {} } } |
| 0 | 1-1=< 1 , 1 > | { { {}, {{}} } , { { {}, {{}} } , { {}, {{}} } } } |
| 0 | 2-2=< 2 , 2 > | { { { {}, {{}} } ,{ { {}, {{}} } } } , { { { {}, {{}} } ,{ { {}, {{}} } } } , { { {}, {{}} } ,{ { {}, {{}} } } } } } |
| 0 | 3-3=< 3 , 3 > | { { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } , { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } } } , { { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } , { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } } } , { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } , { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } } } } } |
| 1 | 1-0=< 1 , 0 > | { { {}, {{}} } , { { {}, {{}} } , {} } } |
| 1 | 2-1=< 2 , 1 > | { { { {}, {{}} } ,{ { {}, {{}} } } } , { { { {}, {{}} } ,{ { {}, {{}} } } } , { {}, {{}} } } |
| 2 | 2-0= < 2 , 0 > | { { { {}, {{}} } ,{ { {}, {{}} } } } , { { { {}, {{}} } ,{ { {}, {{}} } } } , {} } } |
| 3 | 3-0=< 3 , 0 > | { { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } , { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } } } , { { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } , { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } } } , {} } } |
| -1 | 0-1= < 0 , 1 > | { {} , { {} , { {}, {{}} } } } |
| -1 | 1-2=< 1 , 2 > | { { {}, {{}} } , { { {}, {{}} } , { { {}, {{}} } ,{ { {}, {{}} } } } } } |
| -2 | 0-2=< 0 , 2 > | { {} , { {} , { { {}, {{}} } ,{ { {}, {{}} } } } } } |
Note: 上記では自然数で0={}としたが，自然数で1={}と定義しても，整数の実体と名前の対応には影響しない．
有理数
- r/s = < r , s > = { r , { r , s } }
| 名前 | 展開 | 実体 |
|---|---|---|
| 0 | 0/1=< 0 , 1 > | { { {} , { {} , {} } } , { { {} , { {} , {} } } , { { {}, {{}} } , { { {}, {{}} } , {} } } } } |
| 0 | 0/2=< 0 , 2 > | { { {} , { {} , {} } } , { { {} , { {} , {} } } , { { {}, {{}} } ,{ { {}, {{}} } } } } } |
| 1 | 2/2=< 2 , 2 > | { { { {}, {{}} } ,{ { {}, {{}} } } } , { { { {}, {{}} } ,{ { {}, {{}} } } } , { { {}, {{}} } ,{ { {}, {{}} } } } } } |
| -1/3 | (-1)/3=< -1 , 3 > | { { {} , { {} , { {}, {{}} } } } , { { {} , { {} , { {}, {{}} } } } , { { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } , { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } } } , { { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } , { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } } } , {} } } } } |
| -3/2 | 3/(-2)=< 3 , (-2) > | { { { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } , { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } } } , { { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } , { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } } } , {} } } , { { { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } , { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } } } , { { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } , { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } } } , {} } } , { {} , { {} , { { {}, {{}} } ,{ { {}, {{}} } } } } } } } |
実数
無限集合になるから実体として表記できない？
- 切断による定義なら，ある値を「ある値未満のすべての有理数の集合」で表す．
- コーシー列による定義なら，ある値を無限数列で表す．
数の「実体」を集合で書き下してみたが，結局かっこの羅列になった． これは，PC内のファイルをバイナリエディタで開いて，あらゆるファイルが1と0で表せることを改めて確認したようなものだ．
数だけあってもどうしようもなく，演算を導入してようやく意味がある．
参照
- https://unaguna.jp/article/archives/category/series_rough_set_theory
- 斎藤正彦, 数学の基礎 集合・数・位相, 2002, 東京大学出版会.
- 内田伏一, 集合と位相, 1986, 裳華房.
- 小平邦彦, 解析入門, 1991, 岩波書店.
