2016-11-05

12音と群論

理論音楽数学

『ガロア理論の頂を踏む』を読んで，思い付きでやってみた．

12音:C, Cis, D, ...をそれぞれ0, 1, 2, ...と対応させる．
（ここではC=0としているが，Cis=0やD=0としても変わらない．つまり，移調してよい．）

加法に関する群

C=0から半音ずつ，12回上ると，Cに戻る．（ $\cong C_{12}$ ：位数12の巡回群）
これは12の剰余類 $(\boldsymbol{Z}/12\boldsymbol{Z})$ で，加法に関して群をなす．

乗法に関する群

$(\boldsymbol{Z}/12\boldsymbol{Z})$ はそのままでは積に関して群をなさない．
そこで既約剰余類群 $(\boldsymbol{Z}/12\boldsymbol{Z})^{*}$ を考える．

$(\boldsymbol{Z}/12\boldsymbol{Z})^{*}=\{\overline{k} | gcd(k,12)=1, 1 \leq k \leq 12-1 \}=\{\overline{1},\overline{5},\overline{7},\overline{11}\}$

$\{1,5 \equiv -7 (mod 12),7,11 \equiv -1 (mod 12)\}$ は，
C=0に対して，{半音上，完全四度上≡完全五度下，完全五度上，長七度上≡半音下}となる．
これは，エドモン＝コステールの「親和性」に出てくる音度に含まれる（「親和性」ではこれに加え，完全一度と完全八度がある）．

2016-11-03

haskell do構文

プログラミング

失敗

import System.Environment
main::IO()
main=
  do
    args<-getArgs
    argsl<-length args  --Couldn't match expected type ‘IO a0’ with actual type ‘Int’
    (print.show) argsl

成功

import System.Environment
main::IO()
main=
  do
    args<-getArgs
    let argsl=length args
    (print.show) argsl

import System.Environment
main::IO()
main=
  do
    argsl<-length<$>getArgs
    (print.show) argsl

参考ページ

qiita.com

2016-10-25

Haskell ポイントフリー

プログラミング

Prelude> (3*(4-))$ 2

:38:1: error:
? Non type-variable argument in the constraint: Num (a -> a)
(Use FlexibleContexts to permit this)
? When checking the inferred type
it :: forall a. (Num (a -> a), Num a) => a
Prelude> (3*).(4-)$ 2
6

2016-10-25

Windows 10, TeX Live 2015のフォント変更―小塚フォントの導入

tex その他

pdfの出力を小塚フォントに変更した．
参照：OTF - TeX Wiki

失敗

"コマンドラインで以下を実行

updmap-sys --setoption kanjiEmbed kozuka
kanji-config-updmap-sys kozuka-pr6n
mktexlsr

成功

適当に"-sys"を外してみる．
e.g.

updmap --setoption kanjiEmbed kozuka
kanji-config-updmap kozuka-pr6n
mktexlsr

発見

ptex2pdfに与えるコマンドラインオプションでは埋め込みフォントを変更できない？

参照：OTF - TeX Wiki

"-od "-f uptex-yu-win10.map -f otf-up-yu-win10.map""を"-od "-f uptex-kozuka-pr6n-04.map -f otf-up-kozuka-pr6n.map""に変えてもフォント変更できなかった．
私のTeXWorksでのタイプセット設定(-odオプションを削除した)
- 名前: pLaTeX(ptex2pdf)
- プログラム: ptex2pdf.exe
- 引数
  - -u
  - -l
  - -kanji=utf8 $synctexoption
  - $fullname

"C:\texlive\2015\texmf-dist\fonts\opentype"の中身は，pdf出力に影響しない？

"opentype"フォルダを"opentypea"フォルダにフォルダ名変更
- pdf出力に成功した．

１階層上のフォルダは，影響するようだ．

"C:\texlive\2015\texmf-dist\fonts"を"C:\texlive\2015\texmf-dist\fontsa"に変更
- さすがに失敗した
- タイプセット実行時に生成された"missfont.log"の内容
  - mktextfm upjisr-v

2016-06-03

「『総合和声』中の和音のまとめ」の導出方法

　本記事で示すのは，『総合和声』中の和音のまとめ - 雑感・音楽等に示す結果の導出過程である．

　大まかな流れを以下に示す．

和音の構成音をピッチクラスで表記する．
和音のピッチクラス表記からIDを求める．
IDを同じくする和音が，相互に転義可能な和音であると判断する．

　例として，「C-durの準II度」の和音で上記の流れを考える

構成音が[d,f,as]だから，ピッチクラス表記は[2,5,8] と表記される（C,His=0; Cis,Des,Hisis=1; ... ; Ais,B,Ceses=10; H,Ces=11とする）
IDの求め方は以下の手順である．
1. すべての転回形を求める．ここでは[2,5,8], [5,8,2], [8,2,5]
2. 和音構成音のすべての値から，転回後の最低音の値を引く．[2-2,5-2,8-2]=[0,3,6], [5-5,8-5,2-5]=[0,3,-3], [8-8,2-8,5-8]=[0,-6,-3]
3. 値が11を超える場合，その値から12を引く．値が0未満の場合，その値に12を足す．[0,3,6]->[0,3,6], [0,3,-3]->[0,3,-3+12]=, [0,-6,-3]->[0,-6+12,-3+12]=[0,6,9]
4. 「2の"構成音"乗」を足し合わせる．[0,3,6]-> $2^0+2^3+2^6=73$ , [0,3,9]-> $2^0+2^3+2^9=521$ , [0,6,9]-> $2^0+2^6+2^9=577$
5. これらの数値の内，最小のものを和音のIDとする．この場合は73,521,577の内，73が最小であり，準II度の和音のIDである．
対象とした和音に対して，以上の手順を実行し，IDを求めた．IDを同じくする和音を，相互に転義可能であると判断した．