雑感・音楽等

音楽・数学・プログラミングに関する,思い付き・雑感を記す.

発散・回転・勾配の連鎖(ベクトル解析)

\phi,\, \psi: スカラ
\boldsymbol{A}\, \boldsymbol{B}:ベクタ
div\, \boldsymbol{A}=\nabla \cdot \boldsymbol{A}: ベクタ→スカラ
grad\, \phi=\nabla \phi: スカラ→ベクタ
rot\, \boldsymbol{A}=\nabla \times \boldsymbol{A}: ベクタ→ベクタ
\Delta \boldsymbol{A}=(\nabla \cdot \nabla) \boldsymbol{A} \neq \nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{A})

ベクタ grad \,(div \, \boldsymbol{A})=\boldsymbol{B} NG div \,(div \, \boldsymbol{A}) NG rot \,(div \, \boldsymbol{A})
NG grad \,(grad \,\phi) スカラ div \,(grad \,\phi)=\Delta \phi ベクタ rot \,(grad \,\phi)=\boldsymbol{0}
NG grad \,(rot \, \boldsymbol{A}) スカラ div \,(rot \, \boldsymbol{A})=0 ベクタ rot \,(rot \, \boldsymbol{A})\\=grad \,(div \, \boldsymbol{A})-\Delta \boldsymbol{A}
ベクタ \nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{A})=\boldsymbol{B} NG \nabla\cdot(\nabla \cdot \boldsymbol{A}) NG \nabla\times(\nabla \cdot \boldsymbol{A})
NG \nabla(\nabla\phi) スカラ \nabla\cdot(\nabla\phi)=\Delta \phi ベクタ \nabla\times(\nabla\phi)=\boldsymbol{0}
NG \nabla(\nabla \times \boldsymbol{A}) スカラ \nabla\cdot(\nabla \times \boldsymbol{A})=0 ベクタ \nabla\times(\nabla \times \boldsymbol{A})\\=\nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{A})-\Delta \boldsymbol{A}

命題論理のメモ "Theorem syl5"の証明

syl5 - Metamath Proof Explorer
syl5 - Intuitionistic Logic Explorer


Hypothesis

Ref Expression
syl5.1 ⊢(𝜑→𝜓)
syl5.2 ⊢(𝜒→(𝜓→𝜃))

Assertion

Ref Expression
syl5 ⊢(𝜒→(𝜑→𝜃))


Proof of Theorem com12

Step Hyp Ref Expression
1 syl5.1 ⊢(𝜑→𝜓)
2 1 a1i ⊢(𝜒→(𝜑→𝜓))
3 syl5.2 ⊢(𝜒→(𝜓→𝜃))
4 3 a1i ⊢(𝜒→(𝜑→(𝜓→𝜃)))
5 4 a2d ⊢(𝜒→((𝜑→𝜓)→(𝜑→𝜃)))
6 5 a2i ⊢( (𝜒→(𝜑→𝜓)) → (𝜒→(𝜑→𝜃)) )
7 2, 6 ax-mp ⊢(𝜒→(𝜑→𝜃))

積と微分でつながる4つの物理量の構造

教わったことの受け売り.

構造の共通が興味深く,美しいと思った.


電磁気学の図で電荷・磁束を結ぶメモリスタという素子は,
抵抗・キャパシタ・インダクタと比べて,最近実現された素子らしい.

力学の図で,電荷・磁束に対応するのは運動量・位置だが,
不確定性原理によると,これらの物理量は1対1対応には出来ないようだ.

電磁気学

f:id:kazmus:20170502000542j:plain
電圧:v
電流:i
電荷:q
磁束:φ

抵抗:R
静電容量:C
インダクタンス:L
メモリスタンス:M

力学

f:id:kazmus:20170502002251j:plain
速度:v
力:F
運動量:p
位置:x

ダンパの減衰定数:c
質量:m
バネ定数:k

命題論理のメモ "Theorem com12"の証明

com12 - Metamath Proof Explorer
com12 - Intuitionistic Logic Explorer

Hypothesis

Ref Expression
com12.1 ⊢(𝜑→(𝜓→𝜒))

Assertion

Ref Expression
com12 ⊢(𝜓→(𝜑→𝜒))


Proof of Theorem com12

Step Hyp Ref Expression
1 com12.1 ⊢(𝜑→(𝜓→𝜒))
2 ax-2 ⊢((𝜑→(𝜓→𝜒))→((𝜑→𝜓)→(𝜑→𝜒)))
3 1, 2 ax-mp ⊢((𝜑→𝜓)→(𝜑→𝜒))
4 ax-1 ⊢( ((𝜑→𝜓)→(𝜑→𝜒)) →( 𝜓 → ((𝜑→𝜓)→(𝜑→𝜒)) ))
5 3, 4 ax-mp ⊢(𝜓→((𝜑→𝜓)→(𝜑→𝜒)))
6 ax-2 ⊢( (𝜓→((𝜑→𝜓)→(𝜑→𝜒))) → ((𝜓→(𝜑→𝜓))→(𝜓→(𝜑→𝜒))) )
7 5, 6 ax-mp ⊢( (𝜓→(𝜑→𝜓)) → (𝜓→(𝜑→𝜒)) )
8 ax-1 ⊢(𝜓→(𝜑→𝜓))
9 7, 8 ax-mp ⊢(𝜓→(𝜑→𝜒))

"what"のイメージ

文献

  • 伊藤和夫. “Chapter 4 what節”. 英文解釈教室. 改訂版, 研究社, 1997, p.69-92.

疑問詞"what"は単語単体の意味として,
話し手が断定できないモヤモヤした「モノ」を意味すると考えた.

ここで,この「モノ」とは,話し手の主観として,

  1. 存在が認識できる
  2. 不定性を含む

ようなものだとする.


"what"には次のような「様態の不定性」を指す用法がある.

  • 疑問代名詞 "What is this?"

これは,「モノ」が何かを問うている.

  • 関係代名詞 "I have no words for what I then saw."

この文では,「モノ」を先に示し(what),それから「モノ」の詳細(I then saw)を示している.


一方,「様態の不定性」とはいいがたい用法もある.

  • 関係形容詞 "They robbed him of what little money he had."

この用法における"what"は,all the"の意味を含むことを文献が示す.

この場合に,上に示す「様態の不定性」が転じ,
「数量・範囲の不定性」を示すようになり,
さらに,「考えうるものすべて」を示すようになったと考えてみる.
f:id:kazmus:20170324134802p:plain

すると,関係形容詞の用法を受け入れやすいのではないかと考える.

順序対に関する命題のメモ

 文献のp.197のA.2.7の命題の証明の準備

  \{a,b\}=\{a,c\}ならb=c.(中略) a \neq bならb \in \{a,c\}だからb=c.

これに関するメモを記す.

文献

  • 齋藤正彦. “付録 公理的集合論”. 数学の基礎: 集合・数・位相. 東京大学出版会, 2002, p.195-197, (基礎数学, 14).

 外延性公理: \forall x \forall y [ \forall z [ z\in x \leftrightarrow z\in y ]\rightarrow x=y ].
 x= \{ a,b \}  y= \{ a,c \} とすると,
  \forall z [ z\in \{ a,b \} \leftrightarrow z\in \{ a,c \} ]\rightarrow \{ a,b \}=\{ a,c \}.

さらに, z= b とすると,
  [ b\in \{ a,b \} \leftrightarrow b\in \{ a,c \} ] \rightarrow \{ a,b \}=\{ a,c \}.
 b\in \{ a,b \} は明らかに真である.
そして, b\in \{ a,c \} が真となる条件を考える.

 b\in \{ a,c \} が真となる条件は, b=a が真,または, b=cが真であることだ.
条件 a \neq bより, b=cが成立すべきであることが分かる.

常微分方程式の数値解法:ルンゲ=クッタ法,クッタ=シンプソンの方法(1/3法則)

文献が示すルンゲ=クッタの公式を整理する.
文献の"表 8.3 ルンゲ-クッタの公式"と"表 8.4 ルンゲ-クッタの公式(連立方程式)"をもとにする.

文献

藪忠司, 伊藤惇. “8.2 ルンゲ-クッタ法”. 数値計算法. コロナ社, 2002, p.100-101, (機械系教科書シリーズ, 12).

クッタ=シンプソンの方法(1/3法則)

離散化した際の最小単位時間:  h
初期値:  t,\, x,\, y,\, z
次の値:  t+h,\, x+\varDelta x,\, y+\varDelta y,\, z+\varDelta z

2変数(t, x)

 \displaystyle \frac{dx}{dt}=f(t, x)を解く.
 \displaystyle k_1=h f(t, x)
 \displaystyle k_2=h f \left( t+\frac{h}{2},\, x+\frac{k_1}{2} \right)
 \displaystyle k_3=h f \left( t+\frac{h}{2},\, x+\frac{k_2}{2} \right)
 \displaystyle k_4=h f(t+h,\, x+k_3)
 \displaystyle \varDelta x=\frac{k_1 + 2 k_2 + 2 k_3 + k_4}{6}

3変数(t, x, y)

 \displaystyle \frac{dx}{dt}=f(t,\, x,\, y),\, \frac{dy}{dt}=g(t,\, x,\, y)を解く.
 \displaystyle k_1=h f(t,\, x,\, y)
 \displaystyle k_2=h f \left( t+\frac{h}{2},\, x+\frac{k_1}{2},\, y+\frac{l_1}{2} \right)
 \displaystyle k_3=h f \left( t+\frac{h}{2},\, x+\frac{k_2}{2},\, y+\frac{l_2}{2} \right)
 \displaystyle k_4=h f(t+h,\, x+k_3,\, y+l_3)
 \displaystyle \varDelta x=\frac{k_1 + 2 k_2 + 2 k_3 + k_4}{6}

 \displaystyle l_1=h g(t,\, x,\, y)
 \displaystyle l_2=h g \left( t+\frac{h}{2},\, x+\frac{k_1}{2},\, y+\frac{l_1}{2} \right)
 \displaystyle l_3=h g \left( t+\frac{h}{2},\, x+\frac{k_2}{2},\, y+\frac{l_2}{2} \right)
 \displaystyle l_4=h g(t+h,\, x+k_3,\, y+l_3)
 \displaystyle \varDelta y=\frac{l_1 + 2 l_2 + 2 l_3 + l_4}{6}

4変数(t, x, y, z) –2変数・3変数の式から推測し,導出した.

 \displaystyle \frac{dx}{dt}=f(t,\, x,\, y,\, z),\, \frac{dy}{dt}=g(t,\, x,\, y,\, z),\, \frac{dz}{dt}=j(t,\, x,\, y,\, z)を解く.

 \displaystyle k_1=h f(t,\, x,\, y,\, z)
 \displaystyle k_2=h f \left( t+\frac{h}{2},\, x+\frac{k_1}{2},\, y+\frac{l_1}{2},\, z+\frac{m_1}{2} \right)
 \displaystyle k_3=h f \left( t+\frac{h}{2},\, x+\frac{k_2}{2},\, y+\frac{l_2}{2},\, z+\frac{m_2}{2} \right)
 \displaystyle k_4=h f(t+h,\, x+k_3,\, y+l_3,\, z+m_3)
 \displaystyle \varDelta x=\frac{k_1 + 2 k_2 + 2 k_3 + k_4}{6}

 \displaystyle l_1=h g(t,\, x,\, y,\, z)
 \displaystyle l_2=h g \left( t+\frac{h}{2},\, x+\frac{k_1}{2},\, y+\frac{l_1}{2},\, z+\frac{m_1}{2} \right)
 \displaystyle l_3=h g \left( t+\frac{h}{2},\, x+\frac{k_2}{2},\, y+\frac{l_2}{2},\, z+\frac{m_2}{2} \right)
 \displaystyle l_4=h g(t+h,\, x+k_3,\, y+l_3,\, z+m_3)
 \displaystyle \varDelta y=\frac{l_1 + 2 l_2 + 2 l_3 + l_4}{6}

 \displaystyle m_1=h j(t,\, x,\, y,\, z)
 \displaystyle m_2=h j \left( t+\frac{h}{2},\, x+\frac{k_1}{2},\, y+\frac{l_1}{2},\, z+\frac{m_1}{2} \right)
 \displaystyle m_3=h j \left( t+\frac{h}{2},\, x+\frac{k_2}{2},\, y+\frac{l_2}{2},\, z+\frac{m_2}{2} \right)
 \displaystyle m_4=h j(t+h,\, x+k_3,\, y+l_3,\, z+m_3)
 \displaystyle \varDelta z=\frac{m_1 + 2 m_2 + 2 m_3 + m_4}{6}