微分演算子のべき乗がシフト演算子（移動演算子）になる理由

微分演算子を $D=\frac{d}{dx}$ と置くと
$f(x+a)=e^{aD}f(x)$ が成立する．
（ラプラス変換の移動法則にも似ている．）

→テイラー展開から証明
左辺をテイラー展開して，
$f(x+a)=f(x)+af^{\prime}(x)+\frac{1}{2!}a^2 f(x)^{\prime\prime}+\frac{1}{3!}a^3 f(x)^{\prime\prime\prime}+\frac{1}{4!}a^4 f^{(4)} (x)+ \dots$
上式中の微分を微分演算子で置き換えると，
$f(x+a)=f(x)+aDf(x)+\frac{1}{2!}a^2 D^2 f(x)+\frac{1}{3!}a^3 D^3 f(x)+\frac{1}{4!}a^4 D^4 f(x)+ \dots$
$f(x)$ をくくりだすと，
$f(x+a)=\left\{1+aD+\frac{1}{2!} a^2 D^2+\frac{1}{3!} a^3 D^3+\frac{1}{4!} a^4 D^4+ \dots \right\} f(x).$