Vossのアルゴリズムに関する式変形の過程（フラクショナルブラウン運動の生成）

文献: 本田勝也. フラクタル. 朝倉出版, 2002. pp. 110-112.

フラクショナルブラウン運動の関数を $X(x),\, (0\leq x \leq1)$ を生成する「ヴォスのアルゴリズム」が文献に示されていた．
その中の式変形を詳細に示す．

$X\left( 0 \right) =0,\, X\left( 1 \right) =\delta_{0}, \, (\delta_{0} \sim \text{平均0，分散1の正規分布})$
$X \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \left\{ X(0)+X(1) \right\} + \delta_{1},\,\left( \delta_{1} \sim \text{平均0，分散$\sigma_{1}^{2}$の正規分布} \right) \hspace{3em}\text{(10.17)}$
ただし $X(1)-X(0)$ と $\delta_1$ は互いに独立である．

$\langle \left\{ X \left( \frac{1}{2} \right) - X \left( 0 \right) \right\}^{2} \rangle \hspace{3em}\text{(10.18)左辺}$
式(10.17)を代入
$=\langle \left\{ \frac{1}{2} \left\{ X(0)+X(1) \right\} + \delta_{1} - X \left( 0 \right) \right\}^{2} \rangle$
展開
$=\langle \left\{ \frac{1}{2} X(0) + \frac{1}{2} X(1) + \delta_{1} - X \left( 0 \right) \right\}^{2} \rangle$
項をまとめる
$=\langle \left\{ \frac{1}{2} X(1) -\frac{1}{2} X(0) + \delta_{1} \right\}^{2} \rangle$
$=\langle \left\{ \frac{1}{2} \left\{ X(1) - X(0) \right\} + \delta_{1} \right\}^{2} \rangle$
二乗を展開
$=\langle \frac{1}{4} \left\{ X(1) - X(0) \right\}^{2} + {\delta_{1}}^{2} + {\delta_{1}} \left\{ X(1) - X(0) \right\} \rangle$
加法性を適用（統計平均と統計の期待値（平均）は同じ？）
$=\langle \frac{1}{4} \left\{ X(1) - X(0) \right\}^{2} \rangle + \langle {\delta_{1}}^{2} \rangle + \langle {\delta_{1}} \left\{ X(1) - X(0) \right\} \rangle$
$X(1)-X(0)$ と $\delta_1$ は互いに独立だから，積の平均を平均の積に分解
$=\langle \frac{1}{4} \left\{ X(1) - X(0) \right\}^{2} \rangle + \langle {\delta_{1}}^{2} \rangle + \langle {\delta_{1}}\rangle \langle \ X(1) - X(0) \rangle$
正規分布に従う乱数の平均だから $\langle {\delta_{1}}^{2} \rangle = \sigma_{1}^{2}, \, \langle {\delta_{1}} \rangle= 0$
$=\langle \frac{1}{4} \left\{ X(1) - X(0) \right\}^{2} \rangle + \sigma_{1}^{2} + 0 \times \langle X(1) - X(0) \rangle$
$=\langle \frac{1}{4} \left\{ X(1) - X(0) \right\}^{2} \rangle + \sigma_{1}^{2} \hspace{3em}\text{(10.18)右辺}$