不変測度（不変密度）がフロベニウス＝ペロン方程式を満たすことの証明

文献[1]でロジスティック写像のリアプノフ指数を解析的に求めるために，不変測度とフロベニウス＝ペロン方程式について述べていた．

ロジスティック写像： $x_{n+1}=f(x_n)=4 x_{n} (1-x_{n})$

以下では不変測度とフロベニウス＝ペロン方程式の詳細についてまとめる．

不変測度（不変密度）がフロベニウス＝ペロン方程式を満たすことの証明

不変測度： $\rho(x)=\lim_{T \rightarrow \infty} {\frac{1}{T} \sum^{T-1}_{n=0} {\delta (x-x_{n})}}$
フロベニウス＝ペロン方程式： $\rho(x)= \int d\xi \delta (x - f(\xi)) \rho (\xi)$

フロベニウス＝ペロン方程式に不変測度を代入する．

$\rho(x)= \int d\xi \delta (x - f(\xi)) \{ \lim_{T \rightarrow \infty} {\frac{1}{T} \sum^{T-1}_{n=0} {\delta (\xi-x_{n})}} \}$

$\int d\xi \delta (\xi - f(\xi))$ は極限の $T$ に依存しないから， $\int d\xi \delta (x - f(\xi))$ を移動する．
$\rho(x)= \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int d\xi \delta (x - f(\xi)) \sum^{T-1}_{n=0} {\delta (\xi-x_{n})}$

積分と総和の順番を変える．

$\rho(x)= \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \sum^{T-1}_{n=0} \int d\xi \delta (x - f(\xi)) \delta (\xi-x_{n})$

ディラックのデルタ関数の積分の性質を用いる．

$\rho(x)= \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \sum^{T-1}_{n=0} \delta (x - f(x_{n}))$

$x_{n+1}=f(x_n)$ を用いる．

$\rho(x)= \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \sum^{T-1}_{n=0} \delta (x - x_{n+1})$

上式までの変形から， $x_n$ で表される不変測度 $\rho (x)$ をフロベニウス＝ペロン方程式に代入すると，不変測度 $\rho (x)$ が $x_{n+1}$ で表されることが示される．

$x_n=x_{n+1}$ が成立しなければ不変測度 $\rho (x)$ をフロベニウス＝ペロン方程式を満たさない．不変測度 $\rho (x)$ をフロベニウス＝ペロン方程式を満たすためには， $x_n$ が「定常状態」であれば良い．

従って $x_n=x_{n+1}$ が成立すると仮定する．

$\rho(x)= \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \sum^{T-1}_{n=0} \delta (x - x_{n})$

以上から，不変測度（不変密度）がフロベニウス＝ペロン方程式に対して不変であることを示した．

不変測度（不変密度）

文献[2]では，「軌道上の状態 $x$ が微小区間 $[ x, x+dx ]$ に滞在する割合が $\rho (x) dx$ と表させるとき， $\rho (x)$ を不変密度（invariant density）という．」と述べている．

文献[1], [2]ではエルゴード仮説が正しいと仮定して，時間平均と統計平均（アンサンブル平均）とが等しいと仮定している．

関数 $h (x)$ の時間平均： $\lim_{T \rightarrow \infty} {\frac{1}{T} \sum^{T-1}_{n=0} {h( x_n )} }$
関数 $h (x)$ の統計平均： $＜ h ＞ = \int {\rho (x) h (x) dx}$

フロベニウス＝ペロン方程式

文献[2]では，おおよそ次のように説明している．

初期時刻において滑らかな確率密度関数に $\rho_0$ 従う無数の初期点を写像 $x_{n+1}=f(x)$ で発展させる．このとき時刻 $n$ において微小区間 $[ x, x+dx ]$ に存在する点の割合が $\rho_n (x) dx$ と表されるとする．この $\rho_n (x)$ の時間発展は以下のフロベニウス＝ペロン方程式に従う．

フロベニウス＝ペロン方程式： $\rho_{n}=\int \rho_n (y) \delta \{ x-f(y) \} dy$

さらに同書には，「ここで右辺は，時刻 $n$ に確率密度関数 $\rho_n (y)$ に従って分布する状態点 $y$ のうち
写像 $f$ により新たな状態点 $x= f(y)$ に移される点のみを集めたものが，時刻 $n+1$ における状態 $x$ の密度 $\rho_{n+1} (y)$ を与えることを意味している．」と示されている．