雑感等

音楽,数学,語学,その他に関するメモを記す.

集合による数の表現

自然数

  • 0 = {}
  • k+1 = { k , { k } }
名前 展開 実体
0 {}
1 { 0, {0} } { {} , { {} } }
2 { 1, {1} } { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } }
3 { 2, {2} } { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } , { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } } }

整数

  • n-m = < n ,m > = { n, { n, m } }
名前 展開 実体
0 0-0=< 0 , 0 > { {} , { {} , {} } }
0 1-1=< 1 , 1 > { { {}, {{}} } , { { {}, {{}} } , { {}, {{}} } } }
0 2-2=< 2 , 2 > { { { {}, {{}} } ,{ { {}, {{}} } } } , { { { {}, {{}} } ,{ { {}, {{}} } } } , { { {}, {{}} } ,{ { {}, {{}} } } } } }
0 3-3=< 3 , 3 > { { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } , { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } } } , { { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } , { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } } } , { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } , { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } } } } }
1 1-0=< 1 , 0 > { { {}, {{}} } , { { {}, {{}} } , {} } }
1 2-1=< 2 , 1 > { { { {}, {{}} } ,{ { {}, {{}} } } } , { { { {}, {{}} } ,{ { {}, {{}} } } } , { {}, {{}} } }
2 2-0= < 2 , 0 > { { { {}, {{}} } ,{ { {}, {{}} } } } , { { { {}, {{}} } ,{ { {}, {{}} } } } , {} } }
3 3-0=< 3 , 0 > { { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } , { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } } } , { { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } , { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } } } , {} } }
-1 0-1= < 0 , 1 > { {} , { {} , { {}, {{}} } } }
-1 1-2=< 1 , 2 > { { {}, {{}} } , { { {}, {{}} } , { { {}, {{}} } ,{ { {}, {{}} } } } } }
-2 0-2=< 0 , 2 > { {} , { {} , { { {}, {{}} } ,{ { {}, {{}} } } } } }

Note: 上記では自然数で0={}としたが,自然数で1={}と定義しても,整数の実体と名前の対応には影響しない.

有理数

  • r/s = < r , s > = { r , { r , s } }
名前 展開 実体
0 0/1=< 0 , 1 > { { {} , { {} , {} } } , { { {} , { {} , {} } } , { { {}, {{}} } , { { {}, {{}} } , {} } } } }
0 0/2=< 0 , 2 > { { {} , { {} , {} } } , { { {} , { {} , {} } } , { { {}, {{}} } ,{ { {}, {{}} } } } } }
1 2/2=< 2 , 2 > { { { {}, {{}} } ,{ { {}, {{}} } } } , { { { {}, {{}} } ,{ { {}, {{}} } } } , { { {}, {{}} } ,{ { {}, {{}} } } } } }
-1/3 (-1)/3=< -1 , 3 > { { {} , { {} , { {}, {{}} } } } , { { {} , { {} , { {}, {{}} } } } , { { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } , { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } } } , { { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } , { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } } } , {} } } } }
-3/2 3/(-2)=< 3 , (-2) > { { { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } , { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } } } , { { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } , { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } } } , {} } } , { { { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } , { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } } } , { { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } , { { { {} , {{}} } , { { {} , {{}} } } } } } , {} } } , { {} , { {} , { { {}, {{}} } ,{ { {}, {{}} } } } } } } }

実数

無限集合になるから実体として表記できない?

  • 切断による定義なら,ある値を「ある値未満のすべての有理数の集合」で表す.
  • コーシー列による定義なら,ある値を無限数列で表す.

数の「実体」を集合で書き下してみたが,結局かっこの羅列になった. これは,PC内のファイルをバイナリエディタで開いて,あらゆるファイルが1と0で表せることを改めて確認したようなものだ.

数だけあってもどうしようもなく,演算を導入してようやく意味がある.

参照